Recherche informée

CSI 4106 - Automne 2024

Marcel Turcotte

Version: nov. 22, 2024 09h02

Préambule

Citation du jour

Objectifs d’apprentissage

• Comprendre les stratégies de recherche informée et le rôle des fonctions heuristiques dans l’efficacité de la recherche.

• Implémenter et comparer BFS, DFS, et la recherche par meilleur choix (Best-First Search) en utilisant le problème du puzzle à 8 cases.

• Analyser la performance et l’optimalité de divers algorithmes de recherche.

Résumé

Problème de recherche

• Un ensemble d’états, appelé espace d’états.

• Un état initial où l’agent commence.

• Un ou plusieurs états objectifs qui définissent des résultats réussis.

• Un ensemble d’actions disponibles dans un état donné \(s\).

• Un modèle de transition qui détermine l’état suivant en fonction de l’état actuel et de l’action sélectionnée.

• Une fonction de coût d’action qui spécifie le coût de l’exécution de l’action \(a\) dans l’état \(s\) pour atteindre l’état \(s'\).

Définitions

• Un chemin est défini comme une séquence d’actions.

• Une solution est un chemin qui relie l’état initial à l’état objectif.

• Une solution optimale est le chemin avec le coût le plus bas parmi toutes les solutions possibles.

Dans certains problèmes, plusieurs solutions optimales peuvent exister. Cependant, il est généralement suffisant d’identifier et de rapporter une seule solution optimale. Fournir toutes les solutions optimales peut considérablement augmenter la complexité en temps et en espace pour certains problèmes.

Nous supposons que le coût du chemin est la somme des coûts individuels des actions, et que tous les coûts sont positifs. L’espace d’états peut être conceptualisé comme un graphe, où les nœuds représentent les états et les arêtes correspondent aux actions.

Exemple : 8-Puzzle

Arbre de recherche

Les algorithmes de recherche que nous examinons aujourd’hui construisent un arbre de recherche, où chaque nœud représente un état au sein de l’espace d’états et chaque arête représente une action.

Il est important de distinguer entre l’arbre de recherche et l’espace d’états, qui peut être représenté comme un graphe. La structure de l’arbre de recherche varie en fonction de l’algorithme utilisé pour aborder le problème de recherche.

Un arbre de recherche est une structure d’arbre conceptuelle où les nœuds représentent des états dans un espace d’états, et les arêtes représentent les actions possibles, facilitant l’exploration systématique pour trouver un chemin d’un état initial à un état objectif.

Arbre de recherche

Un exemple d’arbre de recherche pour le 8-Puzzle. La solution ici est incomplète.

Frontière

Tout état correspondant à un nœud dans l’arbre de recherche est considéré comme atteint. Les nœuds de la frontière sont ceux qui ont été atteints mais n’ont pas encore été développés. Ci-dessus, il y a 10 nœuds développés et 11 nœuds de frontière, ce qui donne un total de 21 nœuds qui ont été atteints.

Frontière

Les diagrammes correspondent à l’arbre de recherche présenté sur la page précédente. Par exemple, l’état initial peut être développé en utilisant trois actions : glisser à gauche, à droite et vers le haut. Le nœud (2, 3) ne peut être développé qu’en glissant vers le bas, tandis que le nœud (3, 3) peut être développé en glissant à gauche et vers le bas.

Dans le 8-Puzzle, quatre actions sont possibles : glisser à gauche, à droite, vers le haut ou vers le bas. La recherche peut être visualisée sur une grille : nœuds violets : états développés, nœuds verts : états de la frontière (atteints mais non développés).

Frontière

is_empty

def is_empty(frontier):
    """Vérifie si la frontière est vide."""
    return len(frontier) == 0

Existe-t-il des plateaux de 8-Puzzle qui n’ont pas de solutions ?

La résolubilité du 8-Puzzle dépend du nombre d’inversions dans l’état initial. Une inversion est une paire de tuiles où une tuile avec un numéro plus élevé précède une tuile avec un numéro plus bas lorsque le puzzle est vu comme une séquence (en excluant la tuile vide).

Si la frontière devient vide (plus de nœuds à développer), le problème n’a pas de solution.

is_goal

def is_goal(state, goal_state):
    """Détermine si un état donné correspond à l'état objectif."""
    return state == goal_state

Méthode auxiliaire.

expand

def expand(state):
    """Génère les états successeurs en déplaçant la tuile vide dans toutes les directions possibles."""
    size = int(len(state) ** 0.5) # Déterminer la taille du puzzle (3 pour le 8-Puzzle, 4 pour le 15-Puzzle)
    idx = state.index(0) # Trouver l'index de la tuile vide représentée par 0
    x, y = idx % size, idx // size # Convertir l'index en coordonnées (x, y)
    neighbors = []

    # Définir les mouvements possibles : Gauche, Droite, Haut, Bas
    moves = [(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)]
    for dx, dy in moves:
        nx, ny = x + dx, y + dy
        # Vérifier si la nouvelle position est dans les limites du puzzle
        if 0 <= nx < size and 0 <= ny < size:
            n_idx = ny * size + nx
            new_state = state.copy()
            # Échanger la tuile vide avec la tuile adjacente
            new_state[idx], new_state[n_idx] = new_state[n_idx], new_state[idx]
            neighbors.append(new_state)
    return neighbors

print_solution

def print_solution(solution):
    """Affiche la séquence d'étapes de l'état initial à l'état objectif."""
    size = int(len(solution[0]) ** 0.5)
    for step, state in enumerate(solution):
        print(f"Étape {step} :")
        for i in range(size):
            row = state[i*size:(i+1)*size]
            print(' '.join(str(n) if n != 0 else ' ' for n in row))
        print()

Recherche en largeur

from collections import deque

La recherche en largeur (BFS) utilise une file d’attente pour gérer les nœuds de la frontière, également connus sous le nom de liste ouverte.

Recherche en largeur

def bfs(initial_state, goal_state):
    frontier = deque() # Initialiser la file d'attente pour BFS
    frontier.append((initial_state, [])) # Chaque élément est un tuple : (état, chemin)

    explored = set()
    explored.add(tuple(initial_state))

    iterations = 0 # utilisé simplement pour comparer les algorithmes

    while not is_empty(frontier):
        current_state, path = frontier.popleft()

        if is_goal(current_state, goal_state):
            print(f"Nombre d'itérations : {iterations}")
            return path + [current_state] # Retourner le chemin réussi

        iterations = iterations + 1

        for neighbor in expand(current_state):
            neighbor_tuple = tuple(neighbor)
            if neighbor_tuple not in explored:
                explored.add(neighbor_tuple)
                frontier.append((neighbor, path + [current_state]))

    return None # Aucune solution trouvée

L’utilisation de tuple rend les états immuables et “hachables”, permettant leur stockage dans un ensemble.

Recherche en profondeur

def dfs(initial_state, goal_state):
    frontier = [(initial_state, [])] # Chaque élément est un tuple : (état, chemin)

    explored = set()
    explored.add(tuple(initial_state))

    iterations = 0

    while not is_empty(frontier):
        current_state, path = frontier.pop()

        if is_goal(current_state, goal_state):
            print(f"Nombre d'itérations : {iterations}")
            return path + [current_state] # Retourner le chemin réussi

        iterations = iterations + 1

        for neighbor in expand(current_state):
            neighbor_tuple = tuple(neighbor)
            if neighbor_tuple not in explored:
                explored.add(neighbor_tuple)
                frontier.append((neighbor, path + [current_state]))

    return None # Aucune solution trouvée

Remarques

• La recherche en largeur (BFS) identifie la solution optimale, 25 mouvements, en 145 605 itérations.

• La recherche en profondeur (DFS) découvre une solution impliquant 1 157 mouvements en 1 187 itérations.

La recherche en profondeur (DFS) produira-t-elle toujours des solutions sous-optimales ?

Non, si la solution optimale se trouve le long du chemin parcouru par la recherche en profondeur (DFS) dans l’arbre de recherche, alors DFS identifiera effectivement la solution optimale.

Est-il possible que DFS découvre des solutions supérieures à la solution optimale ?

Certainement pas ; de telles solutions seraient soit invalides (impliquant des mouvements impossibles), soit indiqueraient une erreur dans votre estimation.

Cela signifie-t-il que la recherche en profondeur (DFS) n’a pas d’applications pratiques ?

Quand est-il approprié d’utiliser DFS ?

La recherche en largeur (BFS) étend sa frontière systématiquement dans toutes les directions, ce qui entraîne une croissance rapide des besoins en mémoire.

En revanche, l’utilisation de la mémoire de DFS est limitée par le nombre de mouvements nécessaires pour atteindre ses points de retour en arrière ou par la longueur du chemin de la première solution trouvée. Dans tous les scénarios, DFS continue d’étendre la frontière dans une direction.

Dans certaines applications où toutes les solutions possibles doivent être explorées, tout l’espace de recherche doit être parcouru. Utiliser BFS dans ces cas serait prohibitif en termes de mémoire. Cependant, DFS peut explorer l’ensemble de l’espace avec une utilisation minimale de la mémoire.

Le langage de programmation Prolog inclut un algorithme de retour en arrière intégré qui énumère toutes les solutions possibles. Le retour en arrière est une variante de DFS efficace en mémoire.

La recherche limitée en profondeur et la recherche en approfondissement itératif seraient des algorithmes de recherche non informée alternatifs.

Trouver des solutions plus efficacement nécessite une connaissance du domaine.

Comment découvrir des solutions plus efficacement ?

Recherche informée

Recherche heuristique

Les algorithmes de recherche informée utilisent des connaissances spécifiques au domaine concernant l’emplacement de l’état objectif.

Recherche heuristique

Soit \(f(n)\) une fonction heuristique qui estime le coût du chemin de moindre coût de l’état ou du nœud actuel \(n\) jusqu’à l’objectif.

Cette approche est appelée recherche du meilleur d’abord (best-first search).

Recherche heuristique

Dans les problèmes de recherche de route, on pourrait utiliser la distance en ligne droite du nœud actuel à la destination comme heuristique. Bien qu’un chemin réel puisse ne pas exister le long de cette ligne droite, l’algorithme donnera la priorité à l’expansion du nœud le plus proche de la destination (objectif) en se basant sur cette mesure en ligne droite.

Implémentation

• Comment peut-on modifier les algorithmes existants de recherche en largeur et de recherche en profondeur pour implémenter la recherche du meilleur d’abord ?

  • Cela peut être réalisé en utilisant une file de priorité, qui est triée selon les valeurs de la fonction heuristique \(f(n)\).

import heapq

Observation

La recherche en largeur peut être interprétée comme une forme de recherche du meilleur d’abord, où la fonction heuristique \(f(n)\) est définie comme la profondeur du nœud dans l’arbre de recherche, correspondant à la longueur du chemin.

Cette solution est-elle viable ? La réponse est nuancée. Elle est utile pour examiner les propriétés de l’algorithme, mais l’utilisation d’une file d’attente offrira probablement une implémentation plus efficace.

Comment pourrait-on implémenter la recherche en profondeur comme une forme de recherche du meilleur d’abord?

\(A^\star\)

\(A^\star\) (a-star) est la recherche informée la plus courante.

\[ f(n) = g(n) + h(n) \]

où

• \(g(n)\) est le coût du chemin depuis l’état initial jusqu’à \(n\).
• \(h(n)\) est une estimation du coût du plus court chemin de \(n\) à l’état final.

Il est évident que \(g(n)\) est une valeur connue et non une estimation. Par conséquent, la précision de \(f(n)\) s’améliore au fur et à mesure de l’exécution.

Hart, Nilsson, et Raphael (1968)

Admissibilité

Une heuristique est admissible si elle ne surestime jamais le coût réel pour atteindre l’objectif à partir de n’importe quel nœud dans l’espace de recherche.

Cela garantit que l’algorithme \(A^\star\) trouve une solution optimale, puisque le coût estimé est toujours une borne inférieure du coût réel.

Admissibilité

Formellement, une heuristique \(h(n)\) est admissible si : \[ h(n) \leq h^*(n) \] où :

• \(h(n)\) est l’estimation heuristique du coût depuis le nœud \(n\) jusqu’à l’objectif.
• \(h^*(n)\) est le coût réel du chemin optimal depuis le nœud \(n\) jusqu’à l’objectif.

Que se passerait-il si une heuristique surestimait le coût du plus court chemin de \(n\) à l’objectif ?

Optimalité de coût

L’optimalité de coût se réfère à la capacité d’un algorithme à trouver la solution de moindre coût parmi toutes les solutions possibles. Dans le contexte des algorithmes de recherche comme \(A^\star\), l’optimalité de coût signifie que l’algorithme identifiera le chemin avec le coût total le plus bas depuis le départ jusqu’à l’objectif, à condition qu’une heuristique admissible soit utilisée.

Preuve d’optimalité

Théorème : Si \(h(n)\) est une heuristique admissible, alors \(A^\star\) utilisant \(h(n)\) trouvera toujours une solution optimale si elle existe.

Preuve :

1. Hypothèse par contradiction : Supposons que \(A^\star\) retourne une solution sous-optimale avec un coût \(C > C^\star\), où \(C^\star\) est le coût de la solution optimale.

2. État de la frontière : Au moment où \(A^\star\) trouve et retourne la solution sous-optimale, il ne doit y avoir aucun nœud inexploré \(n\) dans la frontière (liste ouverte) tel que \(f(n) \leq C^\star\). S’il existait un tel nœud, \(A^\star\) l’aurait sélectionné pour l’expansion avant le nœud menant à la solution sous-optimale en raison de sa valeur \(f(n)\) inférieure.

3. Existence de nœuds sur le chemin optimal : Cependant, le long du chemin optimal vers l’objectif, il doit y avoir des nœuds \(n\) tels que \(f(n) = g(n) + h(n) \leq C^\star\), car :

   • \(g(n)\) est le coût du début à \(n\) le long du chemin optimal, donc \(g(n) \leq C^\star\).
   • \(h(n) \leq h^*(n)\) parce que \(h(n)\) est admissible.
   • \(h^*(n)\) est le coût réel de \(n\) à l’objectif le long du chemin optimal, donc \(g(n) + h^*(n) = C^\star\).
   • Par conséquent, \(f(n) = g(n) + h(n) \leq g(n) + h^*(n) = C^\star\).

4. Contradiction : Cela signifie qu’il y a des nœuds dans la frontière avec \(f(n) \leq C^\star\) qui n’ont pas encore été explorés, ce qui contredit l’hypothèse qu’aucun de ces nœuds n’existe au moment où la solution sous-optimale est retournée.

5. Conclusion : Par conséquent, \(A^\star\) ne peut pas retourner une solution sous-optimale lorsqu’il utilise une heuristique admissible. Il doit trouver la solution optimale avec un coût \(C^\star\). C.Q.F.D.

8-Puzzle

Pouvez-vous penser à une fonction heuristique pour le casse-tête de 8 tuiles ?

Distance des tuiles mal placées

def misplaced_tiles_distance(state, goal_state):
    # Comptez le nombre de tuiles mal placées
    misplaced_tiles = sum(1 for s, g in zip(state, goal_state) if s != g and s != 0)
    return misplaced_tiles

Est-ce que cette heuristique est admissible?

8-Puzzle

Recherche du meilleur d’abord

def best_first_search(initial_state, goal_state):

    frontier = []  # Initialisez la file de priorité
    initial_h = misplaced_tiles_distance(initial_state, goal_state)

    # Ajoutez l'état initial avec sa valeur heuristique dans la file
    heapq.heappush(frontier, (initial_h, 0, initial_state, []))  # (f(n), g(n), état, chemin)

    explored = set()
    iterations = 0

    while not is_empty(frontier):
        f, g, current_state, path = heapq.heappop(frontier)

        if is_goal(current_state, goal_state):
            print(f"Nombre d'itérations : {iterations}")
            return path + [current_state]  # Retournez le chemin réussi

        iterations += 1
        explored.add(tuple(current_state))

        for neighbor in expand(current_state):
            if tuple(neighbor) not in explored:
                new_g = g + 1  # Incrémentez le coût du chemin
                h = misplaced_tiles_distance(neighbor, goal_state)
                new_f = new_g + h  # Calculez le nouveau coût total
                # Ajoutez l'état voisin dans la file de priorité
                heapq.heappush(frontier, (new_f, new_g, neighbor, path + [current_state]))
                explored.add(tuple(neighbor))  # Marquez le voisin comme exploré

    return None  # Aucune solution trouvée

Cas simple

Nombre d'itérations : 2

initial_state_8 = [1, 2, 3,
                   4, 0, 6,
                   7, 5, 8]
goal_state_8 = [1, 2, 3,
                4, 5, 6,
                7, 8, 0]

best_first_search(initial_state_8, goal_state_8)

Nombre d'itérations : 2

[[1, 2, 3, 4, 0, 6, 7, 5, 8],
 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 8],
 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0]]

Cas difficile

initial_state_8 = [6, 4, 5,
                   8, 2, 7,
                   1, 0, 3]
goal_state_8 = [1, 2, 3,
                4, 5, 6,
                7, 8, 0]

print("Résolution du casse-tête de 8 tuiles avec best_first_search...")

solution_8_bfs = best_first_search(initial_state_8, goal_state_8)

if solution_8_bfs:
    print(f"Solution trouvée par best_first_search en {len(solution_8_bfs) - 1} mouvements :")
    print_solution(solution_8_bfs)
else:
    print("Aucune solution trouvée pour le casse-tête de 8 tuiles avec best_first_search.")

Résolution du casse-tête de 8 tuiles avec best_first_search...
Nombre d'itérations : 29005
Solution trouvée par best_first_search en 25 mouvements :
Étape 0 :
6 4 5
8 2 7
1   3

Étape 1 :
6 4 5
8 2 7
  1 3

Étape 2 :
6 4 5
  2 7
8 1 3

Étape 3 :
6 4 5
2   7
8 1 3

Étape 4 :
6   5
2 4 7
8 1 3

Étape 5 :
  6 5
2 4 7
8 1 3

Étape 6 :
2 6 5
  4 7
8 1 3

Étape 7 :
2 6 5
4   7
8 1 3

Étape 8 :
2 6 5
4 1 7
8   3

Étape 9 :
2 6 5
4 1 7
  8 3

Étape 10 :
2 6 5
  1 7
4 8 3

Étape 11 :
2 6 5
1   7
4 8 3

Étape 12 :
2 6 5
1 7  
4 8 3

Étape 13 :
2 6 5
1 7 3
4 8  

Étape 14 :
2 6 5
1 7 3
4   8

Étape 15 :
2 6 5
1   3
4 7 8

Étape 16 :
2   5
1 6 3
4 7 8

Étape 17 :
2 5  
1 6 3
4 7 8

Étape 18 :
2 5 3
1 6  
4 7 8

Étape 19 :
2 5 3
1   6
4 7 8

Étape 20 :
2   3
1 5 6
4 7 8

Étape 21 :
  2 3
1 5 6
4 7 8

Étape 22 :
1 2 3
  5 6
4 7 8

Étape 23 :
1 2 3
4 5 6
  7 8

Étape 24 :
1 2 3
4 5 6
7   8

Étape 25 :
1 2 3
4 5 6
7 8  

8-Puzzle

def manhattan_distance(state, goal_state):
    distance = 0
    size = int(len(state) ** 0.5)
    for num in range(1, len(state)):
        idx1 = state.index(num)
        idx2 = goal_state.index(num)
        x1, y1 = idx1 % size, idx1 // size
        x2, y2 = idx2 % size, idx2 // size
        distance += abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2)
    return distance

Calcule l’heuristique de distance de Manhattan pour un état donné. Est-ce que cette heuristique est admissible?

8-Puzzle

8-Puzzle

• Comparer les heuristiques Manhattan et Tuiles Mal Placées.
• Laquelle est la plus efficace ?
• Différences significatives de temps d’exécution ?

8-Puzzle

où

• a = distance des tuiles mal placées
• b = distance de Manathan

8-Puzzle

où

• a = distance des tuiles mal placées
• b = distance de Manhattan

misplaced_tiles_distance ne tient pas compte de la distance d’une tuile par rapport à sa position finale prévue, tandis que manhattan_distance le fait.

Ainsi, on peut s’attendre à ce que l’algorithme utilisant la distance de Manhattan sélectionne le prochain nœud à explorer de manière plus judicieuse.

Recherche du meilleur d’abord

def best_first_search_revised(initial_state, goal_state):
    frontier = [] # Initialiser la file de priorité
    initial_h = manhattan_distance(initial_state, goal_state)
    # Ajouter l'état initial avec sa valeur heuristique dans la file
    heapq.heappush(frontier, (initial_h, 0, initial_state, [])) # (f(n), g(n), état, chemin)

    explored = set()

    iterations = 0

    while not is_empty(frontier):
        f, g, current_state, path = heapq.heappop(frontier)

        if is_goal(current_state, goal_state):
            print(f"Nombre d'itérations : {iterations}")
            return path + [current_state] # Retourner le chemin réussi

        iterations = iterations + 1

        explored.add(tuple(current_state))

        for neighbor in expand(current_state):
            if tuple(neighbor) not in explored:
                new_g = g + 1 # Incrémenter le coût du chemin
                h = manhattan_distance(neighbor, goal_state)
                new_f = new_g + h # Calculer le nouveau coût total
                # Ajouter l'état voisin dans la file de priorité
                heapq.heappush(frontier, (new_f, new_g, neighbor, path + [current_state]))
                explored.add(tuple(neighbor)) # Marquer le voisin comme exploré

    return None # Aucune solution trouvée

Lors de l’expansion d’un nœud dans l’arbre de recherche, il est crucial de noter que nous n’évaluons pas immédiatement ses nœuds descendants pour déterminer s’ils sont des nœuds objectifs. Au lieu de cela, ces descendants sont ajoutés à la frontière, qui est une file de priorité. Cela permet de comparer leurs valeurs \(f(n)\) avec celles des autres nœuds dans la frontière, garantissant que les nœuds les plus prometteurs sont considérés en premier en fonction de leur coût total estimé.

Par conséquent, il est possible que la frontière inclue des nœuds qui sont des nœuds objectifs. Cependant, leurs valeurs \(f(n)\) peuvent être plus élevées que celles d’autres nœuds jugés plus prometteurs, car ces autres nœuds pourraient mener à un chemin plus court vers l’objectif.

Cas simple

Nombre d'itérations : 2

initial_state_8 = [1, 2, 3,
                   4, 0, 6,
                   7, 5, 8]

goal_state_8 = [1, 2, 3,
                4, 5, 6,
                7, 8, 0]

best_first_search_revised(initial_state_8, goal_state_8)

Nombre d'itérations : 2

[[1, 2, 3, 4, 0, 6, 7, 5, 8],
 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0, 8],
 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0]]

Cas difficile

initial_state_8 = [6, 4, 5,
                   8, 2, 7,
                   1, 0, 3]

goal_state_8 = [1, 2, 3,
                4, 5, 6,
                7, 8, 0]

print("Résolution du 8-Puzzle avec best_first_search...")

solution_8_bfs = best_first_search_revised(initial_state_8, goal_state_8)

if solution_8_bfs:
    print(f"Solution best_first_search trouvée en {len(solution_8_bfs) - 1} mouvements :")
    print_solution(solution_8_bfs)
else:
    print("Aucune solution trouvée pour le 8-Puzzle en utilisant best_first_search.")

Résolution du 8-Puzzle avec best_first_search...
Nombre d'itérations : 2255
Solution best_first_search trouvée en 25 mouvements :
Étape 0 :
6 4 5
8 2 7
1   3

Étape 1 :
6 4 5
8 2 7
  1 3

Étape 2 :
6 4 5
  2 7
8 1 3

Étape 3 :
6 4 5
2   7
8 1 3

Étape 4 :
6   5
2 4 7
8 1 3

Étape 5 :
  6 5
2 4 7
8 1 3

Étape 6 :
2 6 5
  4 7
8 1 3

Étape 7 :
2 6 5
4   7
8 1 3

Étape 8 :
2 6 5
4 1 7
8   3

Étape 9 :
2 6 5
4 1 7
  8 3

Étape 10 :
2 6 5
  1 7
4 8 3

Étape 11 :
2 6 5
1   7
4 8 3

Étape 12 :
2 6 5
1 7  
4 8 3

Étape 13 :
2 6 5
1 7 3
4 8  

Étape 14 :
2 6 5
1 7 3
4   8

Étape 15 :
2 6 5
1   3
4 7 8

Étape 16 :
2   5
1 6 3
4 7 8

Étape 17 :
2 5  
1 6 3
4 7 8

Étape 18 :
2 5 3
1 6  
4 7 8

Étape 19 :
2 5 3
1   6
4 7 8

Étape 20 :
2   3
1 5 6
4 7 8

Étape 21 :
  2 3
1 5 6
4 7 8

Étape 22 :
1 2 3
  5 6
4 7 8

Étape 23 :
1 2 3
4 5 6
  7 8

Étape 24 :
1 2 3
4 5 6
7   8

Étape 25 :
1 2 3
4 5 6
7 8  

1000 Expériences

Diagramme de dispersion

(Manhattan)

Exploration

La recherche en largeur (BFS) garantit de trouver le chemin le plus court, ou la solution de coût le plus bas, en supposant que toutes les actions ont un coût unitaire.

Développez un programme qui effectue les tâches suivantes :

1. Générer une configuration aléatoire du puzzle 8-Puzzle.
2. Déterminer le chemin le plus court en utilisant la recherche en largeur.
3. Identifier la solution optimale en utilisant l’algorithme \(A^\star\).
4. Comparer les coûts des solutions obtenues aux étapes 2 et 3. Il ne devrait pas y avoir de différence si \(A^\star\) identifie des solutions optimales en termes de coût.
5. Répéter le processus.

Exploration

L’heuristique \(h(n) = 0\) est considérée comme admissible, mais elle entraîne généralement une exploration inefficace de l’espace de recherche. Développez un programme pour explorer ce concept. Montrez que, lorsque toutes les actions sont supposées avoir un coût unitaire, \(A^\star\) et la recherche en largeur (BFS) explorent l’espace de recherche de manière similaire. Plus précisément, ils examinent d’abord tous les chemins de longueur un, puis ceux de longueur deux, et ainsi de suite.

Remarques

• La recherche en largeur (BFS) identifie la solution optimale, 25 mouvements, en 145 605 itérations.

• La recherche en profondeur (DFS) découvre une solution impliquant 1 157 mouvements en 1 187 itérations.

• La recherche du meilleur d’abord identifie la solution optimale, 25 mouvements, en 2 255 itérations.

Évaluation de la performance

• Complétude : L’algorithme assure-t-il qu’une solution sera trouvée si elle existe et indique-t-il correctement l’absence de solution lorsqu’aucune solution n’existe ?

• Optimalité du coût : L’algorithme identifie-t-il la solution avec le coût de chemin le plus bas parmi toutes les solutions possibles ?

• Les trois algorithmes sont-ils complets ? Quelles sont les conditions nécessaires ?

• Tous les trois algorithmes garantissent-ils l’optimalité du coût ?

Évaluation de la performance

• Complexité temporelle : Comment le temps requis par l’algorithme évolue-t-il par rapport au nombre d’états et d’actions ?

• Complexité spatiale : Comment l’espace requis par l’algorithme évolue-t-il par rapport au nombre d’états et d’actions ?

Alternativement, la complexité peut être évaluée en fonction de la profondeur (\(d\)) et du facteur de branchement (\(b\)) de l’arbre de recherche, plutôt qu’en fonction du nombre d’états (nœuds) et d’actions (arêtes) dans l’espace d’états.

Vidéos par Sebastian Lague

• A* Pathfinding (E01 : explication de l’algorithme) publié le 2014-12-16.
• A* Pathfinding (E02 : grille de nœuds) publié le 2014-12-18.
• A* Pathfinding (E03 : implémentation de l’algorithme) publié le 2014-12-19.
• A* Pathfinding (E04 : optimisation du tas) publié le 2014-12-24.
• A* Pathfinding (E05 : unités) publié le 2015-01-06.
• A* Pathfinding (E06 : poids) publié le 2015-01-11.
• A* Pathfinding (E07 : poids lissés) publié le 2016-12-30.
• A* Pathfinding (E08 : lissage de chemin 1/2) publié le 2017-01-31.
• A* Pathfinding (E09 : lissage de chemin 2/2) publié le 2017-01-31.
• A* Pathfinding (E10 : threading) publié le 2017-02-03.
• Tutoriel A* Pathfinding (Unity) (liste de lecture)

Une ressource dédiée à \(A^\star\)

• Amit’s A* Pages

Prologue

Résumé

• Recherche informée et heuristiques
• Recherche du meilleur d’abord
• Implémentations

• Recherche informée et heuristiques :
  • Introduit le concept de fonctions heuristiques (h(n)) pour estimer les coûts.
  • Recherche du meilleur d’abord :
    • Utilise des heuristiques pour prioriser les nœuds qui semblent plus proches de l’objectif.
    • Implémenté avec une file de priorité triée par coût estimé.
  • Heuristique de distance de Manhattan :
    • Calcule la somme des distances des tuiles par rapport à leurs positions cibles.
    • Utilisé dans le 8-Puzzle pour guider la recherche plus efficacement.
• Analyse comparative :
  • BFS : Solution optimale en 145 605 itérations (25 mouvements).
  • DFS : Solution sous-optimale en 1 187 itérations (1 157 mouvements).
  • Recherche du meilleur d’abord : Solution optimale en 2 255 itérations (25 mouvements).
  • Démontré que les algorithmes de recherche informée peuvent trouver des solutions optimales plus efficacement.

Prochaine conférence

• Nous explorerons plus en détail les fonctions heuristiques et examinerons d’autres algorithmes de recherche.

Références

Hart, Peter E., Nils J. Nilsson, et Bertram Raphael. 1968. « A Formal Basis for the Heuristic Determination of Minimum Cost Paths ». IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics 4 (2): 100‑107. https://doi.org/10.1109/tssc.1968.300136.

Russell, Stuart, et Peter Norvig. 2020. Artificial Intelligence: A Modern Approach. 4ᵉ éd. Pearson. http://aima.cs.berkeley.edu/.

Marcel Turcotte

[email protected]

École de science informatique et de génie électrique (SIGE)

Université d’Ottawa