Recherche adversariale

CSI 4106 - Automne 2024

Marcel Turcotte

Version: nov. 27, 2024 07h40

Préambule

Citation du jour

Recherche adversariale

Cette présentation examine les environnements compétitifs où plusieurs agents ont des objectifs conflictuels, ce qui entraîne des problèmes de recherche adversariale.

Objectifs d’apprentissage

• Expliquer les concepts de jeu à somme nulle (zero-sum game)

• Formuler des stratégies pour ne jamais perdre au Tic-Tac-Toe, quel que soit le coup de l’adversaire

• Utiliser l’algorithme minimax pour déterminer les coups optimaux dans des contextes adversariaux

• Articuler comment l’élagage alpha-bêta réduit le nombre de nœuds évalués sans affecter les résultats

Recherche

Introduction

Types de jeux

• Déterministes ou stochastiques

• Un, deux, ou plusieurs joueurs

• À somme nulle ou non

• Information parfaite ou non

Définition

Les jeux à somme nulle (zero-sum games) sont des scénarios compétitifs où le gain d’un joueur est exactement compensé par la perte d’un autre joueur, entraînant un changement net de zéro en termes de richesse ou de bénéfice total.

Le tic-tac-toe est un jeu à somme nulle.

Jeux déterministes

• États : \(S\) (\(S_0\) à \(S_k\))

• Joueurs : \(P = \{1, N\}\)

• Actions : \(A\) (dépend de \(P\) et \(S\))

• Fonction de transition : \(S \times A \rightarrow S\)

• Un état final : \(S_\mathrm{final}\)

• Récompense ou utilité : \(S_\mathrm{final}, p\)

Développer une politique \(S_0 \rightarrow S_\mathrm{final}\).

Qu’en pensez-vous ?

• Envisagez de jouer au tic-tac-toe.

• Pouvez-vous garantir une stratégie pour ne jamais perdre, indépendamment des coups de votre adversaire ?

• Étendez cette analyse à des jeux comme les échecs ou le Go.

Est-ce important de jouer en premier ou en second ?

Quiconque a joué au tic-tac-toe comprend que le premier joueur peut adopter une stratégie qui lui assure de ne jamais perdre.

En soi, cette affirmation est assez surprenante. Pourquoi ?

Combien y a-t-il de configurations de plateau ?

• Chaque case peut être occupée par X ou O ou être vide, ce qui conduit à \(3^9= 19\,683\) configurations de plateau.

• Toutes ces configurations sont-elles possibles dans une partie valide ?

Progression du jeu.

• Toutes ces configurations ne sont pas des états de jeu valides car elles peuvent contenir un nombre impossible de X et O ou ne pas suivre les règles du jeu.

• Une partie de tic-tac-toe peut se terminer par une victoire pour l’un ou l’autre joueur ou par un match nul. La partie la plus longue sans gagnant implique 9 coups (un plateau complet).

• Les parties valides respectent les règles selon lesquelles les joueurs alternent les tours, en commençant par X.

• Combien y a-t-il de séquences de coups valides ?

Tic-Tac-Toe

Représentons l’état d’une partie de tic-tac-toe avec un tableau numpy :

current_state = np.full((3, 3), ' ')

get_valid_moves

def get_valid_moves(state):

    size = state.shape[0]

    # Retourne une liste des positions disponibles
    moves = []
    for i in range(size):
        for j in range(size):
            if state[i][j] == ' ':
                moves.append((i, j))

    return moves

make_move

def make_move(state, move, player):

    # Retourne un nouvel état après avoir effectué le coup
    new_state = state.copy()
    new_state[move] = player

    return new_state

is_terminal

def is_terminal(state):

    # Vérifie les lignes, les colonnes et les diagonales pour une victoire
    lines = []

    lines.extend(state) # Lignes
    lines.extend(state.T) # Colonnes
    lines.append(np.diagonal(state)) # Diagonale principale
    lines.append(np.diagonal(np.fliplr(state))) # Anti-diagonale

    for line in lines:
        if np.all(line == 'X') or np.all(line == 'O'):
            return True

    # Vérifie s'il y a un match nul (pas d'espaces vides)
    if ' ' not in state:
        return True

    return False

get_opponent

def get_opponent(player):
    return 'O' if player == 'X' else 'X'

count_valid_sequences

def count_valid_sequences(state, player):

    if is_terminal(state):
        return 1

    valid_moves = get_valid_moves(state)

    total = 0
    for move in valid_moves:
        new_state = make_move(state, move, player)
        total += count_valid_sequences(new_state, get_opponent(player))

    return total

Le nombre total de séquences valides est : 255,168

Étant donné le nombre de séquences valides, est-il surprenant que le premier joueur puisse adopter une stratégie pour éviter de perdre ?

Symétrie (digression)

Le tic-tac-toe possède 8 transformations symétriques (4 rotations et 4 réflexions).

En les considérant, de nombreuses séquences de jeu qui diffèrent dans l’ordre brut des coups deviennent équivalentes.

Le nombre de séquences de coups uniques est de 26 830, tandis que le nombre de positions de plateau uniques est de 765.

Exercice : écrivez un programme Python pour confirmer ce qui précède.

Arbre de Recherche

La taille de l’arbre de recherche pour le jeu de tic-tac-toe est relativement petite, ce qui le rend adapté comme exemple continu dans les discussions ultérieures.

Comment cela se compare-t-il aux arbres de recherche pour les échecs et le Go ?

Arbre de Recherche

• Échecs : \(35^{80} \sim 10^{123}\)

• Go : \(361! \sim 10^{768}\)

Échecs :

Les échecs ont un plateau relativement petit (\(8 \times 8\)) mais une variété de pièces avec des capacités de mouvement différentes.

En moyenne, chaque position a environ 35 coups légaux.

En considérant une longueur de partie moyenne de 80 demi-coups (un demi-coup est un mouvement d’un joueur, donc 40 mouvements par joueur), le nombre total de parties est estimé à l’aide de la formule : \(35^{80} \sim 10^{123}\), ajusté à la baisse pour tenir compte des positions illégales et redondantes.

Go :

Le Go se joue sur un plateau de \(19 \times 19\), offrant 361 points où les pierres peuvent être placées. En conséquence, le nombre total de parties est \(361! \sim 10^{768}\).

Le nombre estimé d’atomes dans l’univers observable est d’environ \(10^{78}\) à \(10^{82}\).

Définition

Le jeu optimal consiste à exécuter le meilleur coup possible à chaque étape pour maximiser les chances de gagner ou les résultats.

Dans les jeux à information parfaite comme le tic-tac-toe ou les échecs, cela nécessite d’anticiper les coups de l’adversaire et de choisir des actions qui améliorent sa position ou minimisent les pertes.

Lorsque les deux joueurs utilisent des stratégies optimales, le résultat—victoire, défaite ou match nul—est dicté par la mécanique inhérente du jeu et les conditions initiales.

L’information parfaite se réfère à une caractéristique de certains jeux ou scénarios de prise de décision où tous les joueurs ont une connaissance complète et précise de l’état entier du jeu à tout moment. Cela inclut la visibilité totale de toutes les actions entreprises précédemment et l’absence d’éléments cachés ou de hasard affectant la progression du jeu. Dans les jeux à information parfaite, comme les échecs ou le tic-tac-toe, les joueurs peuvent prendre des décisions totalement informées basées sur l’historique complet et l’état actuel du jeu, permettant des stratégies qui peuvent être planifiées plusieurs coups à l’avance.

Jeu à deux coups

Le jeu à deux coups est un jeu hypothétique impliquant deux joueurs, conçu pour faciliter les discussions sur l’algorithme minimax.

Configuration du jeu

• Le jeu commence par un unique point de décision pour le Joueur 1, qui a deux coups possibles : \(A\) et \(B\).

• Chacun de ces coups mène à un point de décision pour le Joueur 2, qui a également deux réponses possibles : \(C\) et \(D\).

• Le jeu se termine après le coup du Joueur 2, aboutissant à un état terminal avec des scores prédéfinis.

Arbre de recherche

• Nœud racine : Représente l’état initial avant le coup du Joueur 1.

• Ply 1 : Le Joueur 1 choisit entre les coups \(A\) et \(B\).

• Ply 2 : Pour chaque coup du Joueur 1, le Joueur 2 choisit entre les coups \(C\) et \(D\).

• Nœuds feuilles : Le point final de chaque branche est un état terminal avec un score associé.

Scores

• \((A, C)\) résulte en un score de 3.

• \((A, D)\) résulte en un score de 5.

• \((B, C)\) résulte en un score de 2.

• \((B, D)\) résulte en un score de 1.

Le Joueur 1 veut maximiser son score.

Stratégie

Quelle devrait être la stratégie du joueur 2 et pourquoi ?

Stratégie

• Pour le coup \(A\) :

  • Le Joueur 2 peut choisir \(C\) (score = 3) ou \(D\) (score = 5) ; il choisit \(C\) (réduisant à 3).

• Pour le coup \(B\) :

  • Le Joueur 2 peut choisir \(C\) (score = 2) ou \(D\) (score = 1) ; il choisit \(D\) (réduisant à 1).

Stratégie

Quelle devrait maintenant être la stratégie pour le Joueur 1 ?

Stratégie

Le Joueur 1, étant le maximisateur, choisira le coup \(A\), car il mène au score le plus élevé de 3 après que le Joueur 2 ait minimisé.

Minimax

• Le Joueur 1 est le joueur maximisateur, cherchant à obtenir le score le plus élevé.

• Le Joueur 2 est le joueur minimisateur, cherchant à obtenir le score le plus bas.

Évaluation :

• Le Joueur 2 évalue les résultats potentiels pour chacun de ses coups et choisit le résultat le moins favorable pour le Joueur 1.

• Le Joueur 1 évalue ensuite ces résultats, choisissant le coup qui maximise son score minimum garanti.

Recherche Minimax

Recherche Minimax

L’algorithme minimax fonctionne en explorant tous les coups possibles dans un arbre de jeu, en évaluant les résultats pour minimiser la perte possible dans le pire des cas. À chaque nœud :

• Tour du joueur maximisateur : Choisir le coup avec la valeur la plus élevée possible.

• Tour du joueur minimisateur : Choisir le coup avec la valeur la plus basse possible.

En remontant des nœuds terminaux à la racine, l’algorithme sélectionne le coup qui maximise le gain minimum du joueur, anticipant efficacement et contrant les meilleures stratégies de l’adversaire.

Recherche Minimax

Attribution : (Russell et Norvig 2020, fig. 5.3)

Présentation (premières 4 minutes)

Regardez les 5 premières minutes et 20 secondes de la vidéo.

La vidéo présente une variante de l’algorithme minimax qui inclut un paramètre de profondeur maximale, permettant à l’algorithme de s’arrêter à une profondeur spécifiée par l’utilisateur. Cette approche est essentielle pour les jeux avec des espaces de recherche étendus, tels que les échecs et le Go. Cependant, elle nécessite une méthode fiable pour évaluer l’état actuel, appelée évaluation statique dans la vidéo.

Attribution : Sebastian Lague

Base

# Classe de base pour le jeu

class Game:

    def __init__(self):
        pass

    def get_valid_moves(self, state):
        pass

    def make_move(self, state, move, player):
        pass

    def is_terminal(self, state):
        pass

    def evaluate(self, state):
        pass

    def display(self, state):
        pass

    def get_opponent(self, player):
        pass

Tic-Tac-Toe

# Classe de jeu Tic-Tac-Toe
class TicTacToe(Game):

    def __init__(self):
        self.size = 3
        self.board = np.full((self.size, self.size), ' ')

    def get_valid_moves(self, state):
        # Retourne une liste des positions disponibles
        moves = []
        for i in range(self.size):
            for j in range(self.size):
                if state[i][j] == ' ':
                    moves.append((i, j))
        return moves

    def make_move(self, state, move, player):
        # Retourne un nouvel état après avoir effectué le coup
        new_state = state.copy()
        new_state[move] = player
        return new_state

    def is_terminal(self, state):
        # Vérifie les lignes, les colonnes et les diagonales pour une victoire
        lines = []
        lines.extend(state) # Lignes
        lines.extend(state.T) # Colonnes
        lines.append(np.diagonal(state)) # Diagonale principale
        lines.append(np.diagonal(np.fliplr(state))) # Anti-diagonale

        for line in lines:
            if np.all(line == 'X') or np.all(line == 'O'):
                return True

        # Vérifie s'il y a un match nul (pas d'espaces vides)
        if ' ' not in state:
            return True

        return False

    def evaluate(self, state):
        # Fonction d'évaluation simple
        lines = []
        lines.extend(state) # Lignes
        lines.extend(state.T) # Colonnes
        lines.append(np.diagonal(state)) # Diagonale principale
        lines.append(np.diagonal(np.fliplr(state))) # Anti-diagonale

        for line in lines:
            if np.all(line == 'X'):
                return 1 # X gagne
            if np.all(line == 'O'):
                return -1 # O gagne

        return 0 # Match nul ou en cours

    def display(self, state):
        display_tic_tac_toe(state, title=None)

    def get_opponent(self, player):
        return 'O' if player == 'X' else 'X'

Minimax

import math

def minimax(game, state, depth, player, maximizing_player):

    if game.is_terminal(state) or depth == 0:
        return game.evaluate(state), None

    valid_moves = game.get_valid_moves(state)
    best_move = None

    if maximizing_player:
        max_eval = -math.inf
        for move in valid_moves:
            new_state = game.make_move(state, move, player)
            eval_score, _ = minimax(game, new_state, depth - 1, game.get_opponent(player), False)
            if eval_score > max_eval:
                max_eval = eval_score
                best_move = move
        return max_eval, best_move
    else:
        min_eval = math.inf
        for move in valid_moves:
            new_state = game.make_move(state, move, player)
            eval_score, _ = minimax(game, new_state, depth - 1, game.get_opponent(player), True)
            if eval_score < min_eval:
                min_eval = eval_score
                best_move = move
        return min_eval, best_move

Exécution

def test_tic_tac_toe():

    game = TicTacToe()
    current_state = game.board.copy()
    player = 'X'
    maximizing_player = True

    # Simuler une partie
    while not game.is_terminal(current_state):

        game.display(current_state)

        _, move = minimax(game, current_state, depth=9, player=player, maximizing_player=maximizing_player)

        if move is None:
            print("Fin de la partie !")
            break

        current_state = game.make_move(current_state, move, player)

        player = game.get_opponent(player)
        maximizing_player = not maximizing_player

    game.display(current_state)
    result = game.evaluate(current_state)
    if result == 1:
        print("X gagne !")
    elif result == -1:
        print("O gagne !")
    else:
        print("C'est un match nul !")

Exécution (1/2)

C'est un match nul !
Temps écoulé : 25.029233 secondes

Exécution plus rapide (digression)

• test_tic_tac_toe est-il plus lent que prévu ?

• Voyez-vous un domaine à améliorer ?

Cache

def memoize_minimax(f):

    cache = {}

    def wrapper(game, state, depth, player, maximizing_player):

        state_key = tuple(map(tuple, state)) # état hachable
        key = (state_key, depth, player, maximizing_player)

        if key in cache:
            return cache[key]

        result = f(game, state, depth, player, maximizing_player)
        cache[key] = result

        return result

    return wrapper

Cache

@memoize_minimax
def minimax(game, state, depth, player, maximizing_player):

    # Le code minimax reste le même, sans gestion de cache
    if game.is_terminal(state) or depth == 0:
        return game.evaluate(state), None

    valid_moves = game.get_valid_moves(state)
    best_move = None

    if maximizing_player:
        max_eval = -math.inf
        for move in valid_moves:
            new_state = game.make_move(state, move, player)
            eval_score, _ = minimax(game, new_state, depth - 1, game.get_opponent(player), False)
            if eval_score > max_eval:
                max_eval = eval_score
                best_move = move
        return max_eval, best_move
    else:
        min_eval = math.inf
        for move in valid_moves:
            new_state = game.make_move(state, move, player)
            eval_score, _ = minimax(game, new_state, depth - 1, game.get_opponent(player), True)
            if eval_score < min_eval:
                min_eval = eval_score
                best_move = move
        return min_eval, best_move

Exécution (2/2)

C'est un match nul !
Temps écoulé : 0.647349 secondes

Réduire la prévisibilité (digression)

import random

class TicTacToe(Game):

    def get_valid_moves(self, state):
        # Retourne une liste des positions disponibles
        moves = []
        for i in range(self.size):
            for j in range(self.size):
                if state[i][j] == ' ':
                    moves.append((i, j))

        return random.shuffle(moves)

    # Toutes les autres méthodes restent les mêmes

Nous randomisons l’ordre des coups avant de les retourner. Cependant, le coup optimal pour une configuration donnée restera fixe, si les solutions sont mises en cache.

Les jeux peuvent devenir monotones si vous discernez rapidement des schémas dans la stratégie de votre adversaire, comme le choix constant de coups dans une séquence spécifique.

Exploration

• Comparez la réduction du temps d’exécution obtenue grâce aux considérations de symétrie par rapport aux techniques de mise en cache. Évaluez l’effet combiné des deux approches.

• Développez une implémentation du jeu Puissance 4 (Connect 4) utilisant un algorithme de recherche minimax.

• Le Puissance 4 (Connect 4) est symétrique par rapport à son axe vertical. Développez une nouvelle implémentation qui exploite cette symétrie.

Voir aussi : Connect 4: Principles and Techniques

Remarque

Le nombre de séquences valides d’actions croît de manière factorielle, avec une croissance particulièrement importante observée dans les jeux comme les échecs et le Go.

Élagage

Pour améliorer l’efficacité de l’algorithme minimax, on pourrait éventuellement élaguer certaines parties de l’arbre de recherche, évitant ainsi l’exploration des nœuds descendants.

Élagage

Comment mettriez-vous en œuvre cette modification ? Quels facteurs prendriez-vous en compte ?

Élagage

L’élagage de l’arbre doit être effectué uniquement lorsqu’il peut être démontré que ces sous-arbres ne peuvent pas fournir de meilleures solutions.

Mais comment ?

Critères pour l’élagage

Basé sur Algorithms Explained – minimax and alpha-beta pruning par Sebastian Lague.

Critères pour l’élagage

Critères pour l’élagage

Critères pour l’élagage

Critères pour l’élagage

Critères pour l’élagage

Nous savons que la valeur du nœud c est au moins 5, car c est un nœud maximisateur.

Le nœud a est un nœud minimisateur et doit choisir entre 3 (nœud b) et au moins 5 (nœud c). Peu importe ce que nous trouvons dans le nœud d, le nœud a choisira 3.

Critères pour l’élagage

Continuons brièvement.

Critères pour l’élagage

Continuons brièvement.

Critères pour l’élagage

C’est un nœud maximisateur ; par conséquent, nous lui attribuerons la valeur de -4.

Quelle valeur doit être attribuée au nœud indiqué par la flèche ?

Critères pour l’élagage

Critères pour l’élagage

Le nœud marqué par une flèche présente un scénario intéressant.

Pouvez-vous déterminer sa valeur ?

Critères pour l’élagage

Que savons-nous ?

Critères pour l’élagage

Supposons que l’enfant de droite du nœud c contienne la valeur 5. Attribueriez-vous 5 au nœud c ? Certainement pas. En tant que nœud minimisateur, le nœud c aura une valeur ne dépassant pas -4.

Puis-je dire que la valeur maximale pour le nœud c est -4 ?

Critères pour l’élagage

Explorer l’enfant de droite du nœud c pourrait révéler une valeur inférieure à -4. Cela a-t-il de l’importance ?

Critères pour l’élagage

Le nœud a est un nœud maximisateur. Du nœud b, il détermine une valeur minimale réalisable de 3.

Le nœud c est un nœud minimisateur. Du nœud d, il détermine que la valeur maximale qu’il peut retourner est -4.

Par conséquent, le nœud a choisira toujours le nœud b, quelle que soit la valeur stockée dans le nœud c, puisque la valeur de c ne dépassera pas -4.

Même si le nœud c, en tant que nœud minimisateur, découvre une valeur extrêmement basse (par exemple, -100) en explorant son enfant de droite, le nœud a, étant un nœud maximisateur, optera toujours pour le nœud b.

Critères pour l’élagage

Les décisions prises par les joueurs 1 et 2 restent inchangées avec ou sans élagage. Cependant, l’élagage réduit le nombre de nœuds visités.

Élagage Alpha-Bêta

L’élagage alpha-bêta est une technique d’optimisation pour l’algorithme minimax qui réduit le nombre de nœuds évalués dans l’arbre de recherche.

Élagage Alpha-Bêta

Il y parvient en éliminant les branches qui ne peuvent pas influencer la décision finale, en utilisant deux paramètres :

• alpha, le score maximum que le joueur maximisateur est assuré d’obtenir, et

• bêta, le score minimum que le joueur minimisateur est assuré d’obtenir.

Perspective du joueur maximisateur

À un nœud maximisateur :

• Le maximiseur vise à maximiser le score.

• Alpha (\(\alpha\)) est mis à jour avec la valeur la plus élevée trouvée jusqu’à présent parmi les nœuds enfants.

• Processus :

  • Initialiser \(\alpha = -\infty\).

  • Pour chaque nœud enfant :

    • Calculer le score d’évaluation.

    • Mettre à jour \(\alpha = \max(\alpha, \mathrm{score\_enfant})\).

Perspective du joueur minimisateur

À un nœud minimisateur :

• Le minimiseur vise à minimiser le score.

• Bêta (\(\beta\)) est mis à jour avec la valeur la plus basse trouvée jusqu’à présent parmi les nœuds enfants.

• Processus :

  • Initialiser \(\beta = \infty\).

  • Pour chaque nœud enfant :

    • Calculer le score d’évaluation.

    • Mettre à jour \(\beta = \min(\beta, \mathrm{score\_enfant})\).

Élagage Alpha-Bêta

Lorsque l’évaluation d’un nœud prouve qu’il ne peut pas améliorer l’alpha ou le bêta actuels, l’exploration de cette branche est arrêtée, ce qui améliore l’efficacité computationnelle sans affecter le résultat.

Rôle d’Alpha et Bêta dans l’élagage

Condition d’élagage :

• Si \(\beta \leq \alpha\), l’exploration supplémentaire des nœuds frères actuels est inutile.

• Raisonnement :

  • Le maximiseur a un score garanti d’au moins \(\alpha\).

  • Le minimiseur peut s’assurer que le maximiseur ne peut pas obtenir un meilleur score que \(\beta\).

  • Si \(\beta \leq \alpha\), le maximiseur ne trouvera pas de meilleure option dans cette branche.

Recherche Alpha-Bêta

Attribution : (Russell et Norvig 2020, fig. 5.7)

Présentation (6:21 à 8:10)

Attribution : Sebastian Lague. Commencez à regarder à 6m 21s.

Ordre des nœuds

• L’efficacité de l’élagage est influencée par l’ordre dans lequel les nœuds sont évalués.

• Un élagage plus important est réalisé si les nœuds sont ordonnés du plus prometteur au moins prometteur.

Voir : Shannon (1959) pour une discussion dans le contexte des échecs.

Recherche Alpha-Bêta

# Algorithme Minimax avec élagage Alpha-Bêta

def alpha_beta_search(game, state, depth, player, alpha, beta, maximizing_player):

    """
    Algorithme Minimax avec élagage alpha-bêta.

    :param game: L'instance du jeu.
    :param state: L'état actuel du jeu.
    :param depth: La profondeur maximale de recherche.
    :param player: Le joueur actuel ('X' ou 'O').
    :param alpha: La meilleure valeur que le maximiseur peut garantir à ce niveau ou au-dessus.
    :param beta: La meilleure valeur que le minimiseur peut garantir à ce niveau ou au-dessus.
    :param maximizing_player: Vrai si le coup actuel est pour le maximiseur.
    
    :return: Un tuple de (score d'évaluation, meilleur coup).
    """

Recherche Alpha-Bêta

# Cas de base : vérifier l'état terminal ou la profondeur maximale

if game.is_terminal(state) or depth == 0:
    score = game.evaluate(state)
    return score, None  # Retourner le score d'évaluation et aucun coup

valid_moves = game.get_valid_moves(state)
best_move = None  # Initialiser le meilleur coup

Le cas de base est identique à celui de l’algorithme minimax.

Recherche Alpha-Bêta

if maximizing_player:

    max_eval = -math.inf  # Initialiser l'évaluation maximale

    for move in valid_moves:

        # Simuler le coup
        new_state = game.make_move(state, move, player)

        # Appel récursif à alpha_beta_search pour le joueur minimiseur
        eval_score, _ = alpha_beta_search(game, new_state, depth - 1, game.get_opponent(player), alpha, beta, False)

        if eval_score > max_eval:
            max_eval = eval_score  # Mettre à jour l'évaluation maximale
            best_move = move  # Mettre à jour le meilleur coup

        alpha = max(alpha, eval_score)  # Mettre à jour alpha

        if beta <= alpha:
            break  # Coupure bêta (élaguer les branches restantes)

    return max_eval, best_move

Recherche Alpha-Bêta

else:

    min_eval = math.inf  # Initialiser l'évaluation minimale

    for move in valid_moves:

        # Simuler le coup
        new_state = game.make_move(state, move, player)

        # Appel récursif à alpha_beta_search pour le joueur maximisateur
        eval_score, _ = alpha_beta_search(game, new_state, depth - 1, game.get_opponent(player), alpha, beta, True)

        if eval_score < min_eval:
            min_eval = eval_score  # Mettre à jour l'évaluation minimale
            best_move = move  # Mettre à jour le meilleur coup

        beta = min(beta, eval_score)  # Mettre à jour bêta

        if beta <= alpha:
            break  # Coupure alpha (élaguer les branches restantes)

    return min_eval, best_move

Présentation

Les nœuds maximisateurs mettent à jour les valeurs alpha, tandis que les nœuds minimiseurs mettent à jour les valeurs bêta.

Présentation

Les valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\) sont initialement fixées à \(-\infty\) et \(\infty\), respectivement. Les appels récursifs continuent de parcourir l’arbre jusqu’à ce que le nœud le plus à gauche soit atteint.

Présentation

La valeur de \(\alpha\) est mise à jour à -1.

Présentation

Mise à jour de \(\alpha\) à 3.

Présentation

Mise à jour de \(\beta\) de \(\infty\) à 3. Transmission de ces valeurs à l’enfant de droite.

Présentation

Mise à jour de \(\alpha\) de \(-\infty\) à 5. Nous avons maintenant \(\beta \le \alpha\).

Présentation

L’enfant de droite n’est pas visité. Le parent (un minimiseur) a une meilleure option (\(\beta\)) que \(\alpha\).

Présentation

En revenant des appels récursifs, le nœud racine reçoit une valeur de 3 de son enfant de gauche et met à jour son \(\alpha\) à 3, ce qui dépasse sa valeur initiale de \(-\infty\).

Présentation

Nous parcourons maintenant le sous-arbre droit à partir de la racine. En atteignant le nœud maximisateur le plus à gauche du sous-arbre droit, \(\alpha\) n’est pas mis à jour puisque -6 et -4 sont inférieurs à 3.

Présentation

\(\beta\) est maintenant mis à jour à -4. Nous avons maintenant que \(\beta \le \alpha\).

Présentation

L’enfant de droite est élagué.

Présentation

Le joueur maximisateur sait que son meilleur coup a une valeur de 3 (en allant à gauche).

Résumé

• Coupe alpha : Se produit aux nœuds minimiseurs lorsque \(\beta \le \alpha\).

• Coupe bêta : Se produit aux nœuds maximiseurs lorsque \(\alpha \ge \beta\).

1. Élagage aux deux types de nœuds :

• L’élagage peut se produire à la fois pendant les phases de minimisation et de maximisation. Cela signifie que les nœuds de minimiseur et de maximiseur peuvent être élagués si certaines conditions sont remplies.

2. Mise à jour de alpha et bêta :

• Aux nœuds maximiseurs, l’algorithme met à jour la valeur alpha au maximum de sa valeur actuelle et de la valeur des nœuds enfants évalués jusqu’à présent.

• Aux nœuds minimiseurs, l’algorithme met à jour la valeur bêta au minimum de sa valeur actuelle et de la valeur des nœuds enfants évalués jusqu’à présent.

3. Conditions d’élagage :

• Aux nœuds maximiseurs :

• Si alpha devient supérieur ou égal à bêta (\(\alpha \ge \beta\)), l’exploration ultérieure des descendants du nœud actuel peut être arrêtée. Cela est dû au fait que le minimiseur (adversaire) peut forcer le résultat à ne pas être meilleur que bêta, donc le maximiseur ne peut pas améliorer le résultat au-delà de ce point.

• Cela est souvent appelé une coupe bêta car la valeur de bêta provoque l’élagage à un nœud maximiseur.

• Aux nœuds minimiseurs :

• Si bêta devient inférieur ou égal à alpha (\(\beta \le \alpha\)), l’algorithme peut élaguer les nœuds enfants restants du nœud minimiseur. Cela est dû au fait que le maximiseur peut forcer un résultat d’au moins alpha, donc le minimiseur ne peut pas trouver un meilleur (plus bas) résultat.

• Cela est connu sous le nom de coupe alpha car la valeur de alpha provoque l’élagage à un nœud minimiseur.

4. Processus d’élagage :

• L’élagage se produit non pas lorsque alpha ou bêta sont mis à jour, mais lorsque la condition d’élagage (\(\alpha \ge \beta\) aux nœuds maximiseurs ou \(\beta \le \alpha\) aux nœuds minimiseurs) est remplie.

• Une fois ces conditions satisfaites, l’algorithme sait que l’exploration supplémentaire ne donnera pas un meilleur résultat, et il peut donc élaguer ces branches en toute sécurité.

Résumé :

• Coupe alpha : Se produit aux nœuds minimiseurs lorsque \(\beta \le \alpha\).

• Coupe bêta : Se produit aux nœuds maximiseurs lorsque \(\alpha \ge \beta\).

• Pourquoi l’élagage se produit :

• Dans les deux cas, l’élagage se produit car une exploration ultérieure ne peut pas influencer la décision finale. L’adversaire peut forcer le jeu dans une situation qui n’est pas meilleure que l’évaluation actuelle.

• Impact sur l’efficacité de l’algorithme :

• En mettant en œuvre ces coupures, l’algorithme d’élagage alpha-bêta réduit le nombre de nœuds à évaluer par rapport à l’algorithme minimax standard, améliorant ainsi l’efficacité sans affecter le résultat.

Minimax vs Élagage Alpha-Bêta

• Comprendre pourquoi l’élagage alpha-bêta améliore l’efficacité du minimax sans modifier les résultats nécessite une réflexion attentive.

• Les changements de l’algorithme sont minimes.

• L’amélioration est-elle justifiée ?

Minimax vs Élagage Alpha-Bêta

Nombre de séquences explorées par l'algorithme de recherche Minimax : 255,168

Nombre de séquences explorées par l'algorithme de recherche Alpha-Bêta : 7,330

Une réduction de 97.13% du nombre de séquences visitées !

Exploration

Implémentez un jeu de Puissance 4 (Connect 4) en utilisant l’algorithme de recherche Alpha-Bêta. Réalisez une analyse comparative entre les implémentations de Minimax et de recherche Alpha-Bêta.

Prologue

Exploration supplémentaire

• Recherche Expetimax : gérer les joueurs qui ne sont pas parfaits ;

• Expectiminimax : gérer le hasard dans des jeux tels que le backgammon.

Résumé

• Introduction à la recherche en environnement adversarial
• Jeux à somme nulle
• Introduction à la méthode de recherche minimax
• Rôle de l’élagage alpha et bêta dans la recherche minimax

• Introduction à la recherche en environnement adversarial :
  • Exploration des environnements compétitifs avec des objectifs conflictuels.
• Classification des jeux :
  • Types basés sur le déterminisme (déterministe vs stochastique).
  • Nombre de joueurs (un, deux ou plus).
  • Nature de la compétition (somme nulle vs non somme nulle).
  • Disponibilité de l’information (information parfaite vs imparfaite).
• Jeux à somme nulle :
  • Définition et caractéristiques.
  • Exemple : Tic-Tac-Toe comme jeu à somme nulle.
• Cadre des jeux déterministes :
  • Composants : états, joueurs, actions, fonctions de transition, états finaux, récompenses.
  • Développement de politiques des états initiaux aux états finaux.
• Stratégies de jeu et complexité :
  • Analyse des stratégies sans défaite dans le Tic-Tac-Toe.
  • Discussion sur l’impact de l’ordre des coups (premier ou deuxième joueur).
  • Exploration de la complexité des jeux dans le Tic-Tac-Toe, les échecs et le Go.
• Jeu optimal et information parfaite :
  • Concepts de stratégies optimales et leurs implications.
  • Importance de l’information parfaite en théorie des jeux.
• Algorithme Minimax :
  • Introduction à la méthode de recherche minimax.
  • Application pour déterminer les coups optimaux dans les jeux adversariaux.
  • Détails de l’implémentation avec un exemple en Python pour Tic-Tac-Toe.
• Améliorations de l’efficacité :
  • Utilisation de la mise en cache (mémorisation) pour améliorer les performances de l’algorithme.
  • Réduction de la surcharge computationnelle dans les arbres de recherche de jeu.
• Techniques d’élagage :
  • Introduction à l’élagage dans les arbres de recherche pour éviter des calculs inutiles.
  • Explication détaillée de l’élagage Alpha-Bêta.
  • Critères d’élagage et exemples illustrant le processus.
• Élagage Alpha-Bêta :
  • Intégration avec l’algorithme minimax.
  • Rôle des paramètres alpha et bêta dans l’optimisation de la recherche.
  • Impact sur le nombre de nœuds évalués.
• Comparaison des performances :
  • Analyse de l’exploration des nœuds entre minimax et élagage alpha-bêta.
  • Démonstration quantitative des gains d’efficacité.
• Ordonnancement des nœuds et efficacité de l’élagage :
  • Discussion sur l’effet de l’ordre d’évaluation des nœuds sur le succès de l’élagage.
  • Stratégies pour ordonner les nœuds afin de maximiser le potentiel d’élagage.

Prochain cours

• Nous aborderons l’algorithme de recherche arborescente Monte Carlo (MCTS)

Références

Russell, Stuart, et Peter Norvig. 2020. Artificial Intelligence: A Modern Approach. 4ᵉ éd. Pearson. http://aima.cs.berkeley.edu/.

Shannon, Claude E. 1959. « Programming a Computer Playing Chess ». Philosophical Magazine Ser.7, 41 (312).

Marcel Turcotte

[email protected]

École de science informatique et de génie électrique (SIGE)

Université d’Ottawa