Entraîner un réseau de neurones artificiels (partie 2)

CSI 4106 - Automne 2024

Auteur·rice

Marcel Turcotte

Date de publication

Version: oct. 23, 2024 15h00

Préambule

Citation du Jour

Sir Demis Hassabis est le cofondateur et PDG de Google DeepMind, une entreprise leader dédiée à résoudre certains des défis scientifiques et d’ingénierie les plus complexes de notre époque afin de favoriser les avancées scientifiques. Prodigie des échecs dès l’âge de quatre ans, Hassabis a atteint un niveau de maîtrise à 13 ans et a été capitaine de plusieurs équipes juniors d’échecs d’Angleterre. En 2024, il a reçu le prix Nobel de Chimie pour ses contributions au développement de AlphaFold.

Objectifs d’apprentissage

  • Décrire le fonctionnement d’une couche softmax.
  • Expliquer le concept de perte d’entropie croisée.
  • Appliquer des techniques de régularisation pour améliorer la généralisation des réseaux neuronaux.

Comme pour le devoir 2, j’ai rassemblé dans ces lectures les concepts importants pour le prochain devoir.

Résumé

  • L’apprentissage profond est une branche de l’apprentissage automatique.
  • Utilise des réseaux de neurones organisés en couches.
  • Chaque unité calcule une somme pondérée (produit scalaire) des entrées, ajoute un biais, puis applique une fonction d’activation pour produire sa sortie.
  • Un réseau monocouche suffisamment grand peut approximer toute fonction continue.

Rétropropagation : aperçu général

  1. Initialisation

  2. Passe avant

  3. Calcul de la perte

  4. Passe arrière (Rétropropagation)

  5. Répéter les étapes 2 à 5.

L’algorithme s’arrête soit après un nombre prédéfini d’époques, soit lorsque les critères de convergence sont satisfaits.

Couche de sortie

Couche de sortie : tâche de régression

  • # de neurones de sortie :
    • 1 par dimension
  • Fonction d’activation de la couche de sortie :
    • Aucune, ReLU/softplus si positif, sigmoid/tanh si borné
  • Fonction de perte :

Dans un problème de détection d’objet, la détermination de la boîte englobante est un exemple de tâche de régression où la sortie est multidimensionnelle.

Couche de sortie : tâche de classification

  • # de neurones de sortie :
    • 1 si binaire, 1 par classe si multiclasse ou multilabel.
  • Fonction d’activation de la couche de sortie :
    • sigmoid si binaire ou multilabel, softmax si multiclasses.
  • Fonction de perte :
    • entropie croisée

Softmax

Softmax garantit que toutes les sorties d’activation se situent entre 0 et 1 et que leur somme est égale à 1.

Remarquez que j’ai révisé la représentation des nœuds de sortie pour indiquer que la fonction softmax est appliquée à l’ensemble de la couche, plutôt qu’à des nœuds individuels. Cette fonction transforme les valeurs brutes de sortie de la couche en probabilités qui totalisent 1, facilitant ainsi la classification multiclasses. Cette caractéristique la distingue des fonctions d’activation comme ReLU ou sigmoid, qui sont généralement appliquées indépendamment à la sortie de chaque nœud.

La fonction \(\argmax\) n’est pas appropriée pour l’optimisation par des méthodes basées sur les gradients, car sa dérivée est nulle dans tous les cas, comme pour les fonctions de seuil. En revanche, la fonction softmax offre à la fois une interprétation probabiliste et une dérivée calculable, la rendant plus efficace pour de telles applications.

La fonction \(\argmax\) peut être appliquée a posteriori aux réseaux entraînés pour faire des prédictions de classe.

Softmax

La fonction softmax est une fonction d’activation utilisée dans les problèmes de classification multiclasses pour convertir un vecteur de scores bruts en probabilités qui totalisent 1.

Étant donné un vecteur \(\mathbf{z} = [z_1, z_2, \ldots, z_n]\) :

\[ \sigma(\mathbf{z})_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{n} e^{z_j}} \]

où \(\sigma(\mathbf{z})_i\) est la probabilité de la classe \(i\), et \(n\) est le nombre de classes.

La fonction softmax met l’accent sur les scores les plus élevés tout en atténuant les scores les plus faibles, permettant une interprétation probabiliste des sorties.

On peut clairement voir que cette activation s’applique à l’ensemble de la couche, puisque la dénomination dépend des valeurs de tous les \(z_j\), pour \(j \in 1 \ldots n\).

Softmax

\(z_1\) \(z_2\) \(z_3\) \(\sigma(z_1)\) \(\sigma(z_2)\) \(\sigma(z_3)\) \(\sum\)
1.47 -0.39 0.22 0.69 0.11 0.20 1.00
5.00 6.00 4.00 0.24 0.67 0.09 1.00
0.90 0.80 1.10 0.32 0.29 0.39 1.00
-2.00 2.00 -3.00 0.02 0.98 0.01 1.00

Valeurs de softmax pour un vecteur de longueur 3.

  1. Maintient l’ordre relatif : La fonction softmax préserve l’ordre relatif des valeurs d’entrée. Si une entrée est supérieure à une autre, sa sortie correspondante sera également supérieure.

  2. Interprétée comme des probabilités : Chaque valeur se situe dans la plage de 0 à 1. Les valeurs de sortie de la fonction softmax sont normalisées pour totaliser un, ce qui permet de les interpréter comme des probabilités.

  3. Différences relatives : Lorsque les différences relatives entre les valeurs d’entrée sont petites, les différences dans les probabilités de sortie restent petites, reflétant la distribution des entrées. Lorsque les valeurs d’entrée sont identiques, les sorties seront égales à \(\frac{1}{n}\), où \(n\) est le nombre de classes.

  4. Large gamme de valeurs : La fonction softmax peut traiter efficacement une large gamme de valeurs d’entrée, grâce à la fonction exponentielle et à la normalisation, qui adaptent les entrées à une plage probabiliste.

Ces propriétés rendent la fonction softmax particulièrement utile pour les tâches de classification multiclasses en apprentissage automatique.

Softmax

Fonction de perte d’entropie croisée

L’entropie croisée dans une tâche de classification multiclasses pour un exemple :

\[ J(W) = -\sum_{k=1}^{K} y_k \log(\hat{y}_k) \]

Où :

  • \(K\) est le nombre de classes.
  • \(y_k\) est la distribution réelle pour la classe \(k\).
  • \(\hat{y}_k\) est la probabilité prédite de la classe \(k\) par le modèle.

  • Le vecteur cible \(y\) est exprimé comme un vecteur encodé one-hot de longueur \(K\), où l’élément correspondant à la classe réelle est fixé à 1, et tous les autres éléments sont à 0.

  • Par conséquent, dans la somme sur les classes, seul le terme associé à la classe réelle contribue une valeur non nulle.

  • Ainsi, la perte d’entropie croisée pour un exemple unique est donnée par \(-\log(\hat{y}_k)\), où \(\hat{y}_k\) est la probabilité prédite pour la classe réelle.

  • La probabilité prédite \(\hat{y}_k\) est dérivée de la fonction softmax appliquée à la couche de sortie du réseau neuronal.

Fonction de perte d’entropie croisée

  • Problème de classification : 3 classes
    • Versicolour, Setosa, Virginica.
  • Encodage one-hot :
    • Setosa = \([0, 1, 0]\).
  • Sorties Softmax & Perte :
    • \([0.22,\mathbf{0.7}, 0.08]\) : Perte = \(-\log(0.7) = 0.3567\).
    • \([0.7, \mathbf{0.22}, 0.08]\) : Perte = \(-\log(0.22) = 1.5141\).
    • \([0.7, \mathbf{0.08}, 0.22]\) : Perte = \(-\log(0.08) = 2.5257\).

Parmi les sorties softmax, l’entropie croisée n’évalue que la composante correspondant à \(k=1\) (Setosa), car les autres entrées dans le vecteur encodé one-hot sont nulles. Cet élément pertinent est mis en évidence en gras. Lorsque la prédiction softmax correspond étroitement à la valeur attendue, la perte résultante est minimale (0.3567). À l’inverse, lorsque la prédiction s’éloigne de la valeur attendue, la perte augmente (1.5141 et 2.5257).

Cas : un exemple

  • Dans la somme, seul le terme où \(y_k = 1\) contribue une valeur non nulle.

  • En raison du signe négatif précédant la somme, la valeur de la fonction est \(-\log(\hat{y}_k)\).

  • Si la probabilité prédite \(\hat{y}_k\) est proche de 1, la perte approche de zéro, indiquant une pénalité minimale.

  • À l’inverse, lorsque \(\hat{y}_k\) approche de 0, indiquant une mauvaise prédiction, la perte approche l’infini. Cette pénalité importante permet à la perte d’entropie croisée de converger plus rapidement que l’erreur quadratique moyenne.

Cas : ensemble de données

Pour un ensemble de données avec \(N\) exemples, la perte moyenne d’entropie croisée sur tous les exemples est calculée comme suit :

\[ L = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} y_{i,k} \log(\hat{y}_{i,k}) \]

Où :

  • \(i\) est l’index des exemples dans l’ensemble de données.
  • \(y_{i,k}\) et \(\hat{y}_{i,k}\) sont respectivement les valeurs réelles et les probabilités prédites pour la classe \(k\) de l’exemple \(i\).

Régularisation

Définition

La régularisation regroupe un ensemble de techniques visant à améliorer la capacité de généralisation d’un modèle en atténuant le surapprentissage. En décourageant une complexité excessive du modèle, ces méthodes améliorent la robustesse et la performance du modèle sur des données non vues.

Ajout de termes de pénalité à la perte

  • En optimisation numérique, il est courant d’ajouter des termes supplémentaires à la fonction objectif afin de dissuader certaines caractéristiques indésirables du modèle.

  • Pour un problème de minimisation, le processus d’optimisation vise à éviter des coûts élevés associés à ces termes de pénalité.

Fonction de perte

Prenons la fonction de perte de l’erreur absolue moyenne :

\[ \mathrm{MAE}(X,W) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} | h_W(x_i) - y_i | \]

Où :

  • \(W\) sont les poids de notre réseau.
  • \(h_W(x_i)\) est la sortie du réseau pour l’exemple \(i\).
  • \(y_i\) est la vraie étiquette pour l’exemple \(i\).

Terme(s) de pénalité

Un ou plusieurs termes peuvent être ajoutés à la perte :

\[ \mathrm{MAE}(X,W) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} | h_W(x_i) - y_i | + \mathrm{pénalité} \]

Norme

Une norme assigne une longueur non négative à un vecteur.

La norme \(\ell_p\) d’un vecteur \(\mathbf{z} = [z_1, z_2, \ldots, z_n]\) est définie comme suit :

\[ \|\mathbf{z}\|_p = \left( \sum_{i=1}^{n} |z_i|^p \right)^{1/p} \]

Avec des valeurs de \(p\) plus grandes, la norme \(\ell_p\) met de plus en plus l’accent sur les valeurs de \(z_i\) les plus grandes à cause de l’exponentiation.

Une norme est une fonction qui attribue une longueur ou taille non négative à chaque vecteur dans un espace vectoriel, en respectant certaines propriétés : positivité, multiplication scalaire, inégalité triangulaire, et le fait que la norme est nulle si et seulement si le vecteur est nul.

Normes \(\ell_1\) et \(\ell_2\)

La norme \(\ell_1\) (norme de Manhattan) est :

\[ \|\mathbf{z}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |z_i| \]

La norme \(\ell_2\) (norme euclidienne) est :

\[ \|\mathbf{z}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} z_i^2} \]

Régularisation \(l_1\) et \(l_2\)

Ci-dessous, \(\alpha\) et \(\beta\) déterminent le degré de régularisation appliqué ; fixer ces valeurs à zéro désactive effectivement le terme de régularisation.

\[ \mathrm{MAE}(X,W) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} | h_W(x_i) - y_i | + \alpha \ell_1 + \beta \ell_2 \]

Recommandations

  • Régularisation \(\ell_1\) :
    • Encourage la parcimonie, mettant à zéro beaucoup de poids.
    • Utile pour la sélection d’attributs en réduisant la dépendance à certains attributs.
  • Régularisation \(\ell_2\) :
    • Encourage des poids petits et répartis pour la stabilité.
    • Idéal lorsque toutes les attributs contribuent et que la réduction de la complexité est primordiale.

Exemple Keras

import tensorflow as tf
from tensorflow.python.keras.layers import Dense

regularizer = tf.keras.regularizers.l2(0.001)

dense = Dense(50, kernel_regularizer=regularizer)

Cette couche utilise spécifiquement la régularisation \(\ell_2\), contrairement à la discussion précédente où la régularisation était appliquée globalement à l’ensemble du modèle.

Dropout

Le dropout est une technique de régularisation dans les réseaux neuronaux où des neurones sélectionnés aléatoirement sont ignorés pendant l’entraînement, réduisant ainsi le surapprentissage en empêchant la co-adaptation des attributs.

Hinton et al. (2012)

Dropout

  • Lors de chaque étape d’entraînement, chaque neurone dans une couche de dropout a une probabilité \(p\) d’être exclu du calcul, des valeurs typiques de \(p\) allant de 10 % à 50 %.

  • Bien que cela puisse sembler contre-intuitif, cette approche empêche le réseau de dépendre de neurones spécifiques, favorisant ainsi la distribution des représentations apprises sur plusieurs neurones.

Dropout

  • Le dropout est l’une des méthodes de régularisation les plus populaires et les plus efficaces pour réduire le surapprentissage.

  • L’amélioration typique des performances est modeste, généralement autour de 1 à 2 %.

Keras

import keras
from keras.models import Sequential
from keras.layers import InputLayer, Dropout, Flatten, Dense

model = tf.keras.Sequential([
    InputLayer(shape=[28, 28]),
    Flatten(),
    Dropout(rate=0.2),
    Dense(300, activation="relu"),
    Dropout(rate=0.2),
    Dense(100, activation="relu"),
    Dropout(rate=0.2),
    Dense(10, activation="softmax")
])

Ajout de couches Dropout au modèle Fashion-MNIST de la dernière leçon.

Le taux de dropout peut différer entre les couches ; des taux plus élevés peuvent être appliqués aux couches plus larges, tandis que des taux plus petits sont adaptés aux couches plus petites. Il est courant dans de nombreux réseaux d’appliquer le dropout uniquement après la dernière couche cachée.

Définition

L’arrêt anticipé (early stopping) est une technique de régularisation qui interrompt l’entraînement dès que la performance du modèle sur un ensemble de validation commence à se dégrader, empêchant ainsi le surapprentissage en s’arrêtant avant que le modèle n’apprenne le bruit.

Geoffrey Hinton appelle cela le “beau repas gratuit.”

Early Stopping

Attribution : Géron (2022), 04_training_linear_models.ipynb.

Prologue

Résumé

  • Réseaux neuronaux artificiels (ANNs) :
    • Inspirés des réseaux neuronaux biologiques.
    • Composés de neurones interconnectés organisés en couches.
    • Applicables à l’apprentissage supervisé, non supervisé, et par renforcement.
  • Réseaux neuronaux à propagation directe (FNNs) :
    • L’information circule unidirectionnellement de l’entrée à la sortie.
    • Composés de couches d’entrée, cachées et de sortie.
    • Le nombre de couches et de neurones par couche peut varier.
  • Fonctions d’activation :
    • Introduisent de la non-linéarité pour permettre l’apprentissage de modèles complexes.
    • Fonctions courantes : Sigmoid, Tanh, ReLU, Leaky ReLU.
    • Le choix de la fonction d’activation affecte le flux de gradient et les performances du réseau.
  • Théorème de l’approximation universelle :
    • Un réseau neuronal avec une seule couche cachée peut approximer toute fonction continue.
  • Algorithme de rétropropagation :
    • L’entraînement implique une passe avant, un calcul de perte, une passe arrière et une mise à jour des poids.
    • Utilise la descente de gradient pour minimiser la fonction de perte.
    • Permet l’entraînement des perceptrons multicouches en ajustant les poids internes.
  • Problème du gradient qui disparaît :
    • Les gradients deviennent trop petits lors de la rétropropagation, ce qui freine l’entraînement.
    • Stratégies de mitigation : utilisation de fonctions d’activation ReLU et d’une initialisation correcte des poids (Glorot ou He).
  • Initialisation des poids :
    • L’initialisation aléatoire brise la symétrie et permet un apprentissage efficace.
    • L’initialisation Glorot convient aux activations sigmoid et tanh.
    • L’initialisation He est optimale pour ReLU et ses variantes.
  • Fonctions de perte :
    • Tâches de régression : Erreur quadratique moyenne (MSE).
    • Tâches de classification : Perte d’entropie croisée avec activation softmax pour les sorties multiclasses.
  • Techniques de régularisation :
    • Régularisation L1 et L2 : Ajouter des termes de pénalité à la perte pour décourager les poids élevés.
    • Dropout : Désactiver aléatoirement des neurones pendant l’entraînement pour éviter le surapprentissage.
    • Early Stopping : Interrompre l’entraînement lorsque la performance de validation se dégrade.
  • Concepts clés :
    • Le taux d’apprentissage détermine la taille des pas pendant l’optimisation.
    • La descente de gradient est utilisée pour mettre à jour les poids en minimisant la perte.
    • Le choix des fonctions d’activation et des méthodes d’initialisation est crucial pour un entraînement efficace.

3Blue1Brown

Une série de vidéos, avec des animations, offrant l’intuition derrière l’algorithme de rétropropagation.

Prérequis : Gradient descent, how neural networks learn? (20m 33s)

StatQuest

Prérequis : The Chain Rule (18m 24s) & Gradient Descent, Step-by-Step (23m 54s)

Herman Kamper

Une des séries de vidéos les plus complètes sur l’algorithme de rétropropagation.

Prochaine leçon

  • Nous introduirons différentes architectures de réseaux neuronaux artificiels.

Références

Géron, Aurélien. 2022. Hands-on Machine Learning with Scikit-Learn, Keras, and TensorFlow. 3ᵉ éd. O’Reilly Media, Inc.
Hinton, Geoffrey E., Nitish Srivastava, Alex Krizhevsky, Ilya Sutskever, et Ruslan Salakhutdinov. 2012. « Improving neural networks by preventing co-adaptation of feature detectors ». CoRR abs/1207.0580. http://arxiv.org/abs/1207.0580.
Russell, Stuart, et Peter Norvig. 2020. Artificial Intelligence: A Modern Approach. 4ᵉ éd. Pearson. http://aima.cs.berkeley.edu/.

Marcel Turcotte

[email protected]

École de science informatique et de génie électrique (SIGE)

Université d’Ottawa